ルートの無限入れ子クイズの解答第一版 - しがないプログラマの日記

http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030
結城浩さんの日記で数学のクイズが出題されていたので、考えてみました。
問題は
数列 [tex:] が、
　　 $\Large a_1=\sqrt{2}, a_2=\sqrt{2 \sqrt{2}}, a_3=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, a_4=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}$
で与えられているとき、極限 $\Large \lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

解答としては、
　　 $\Large {a_2}^2=2a_1, {a_3}^2=2a_2, {a_4}^2=2a_3$
より、一般項が
　　 $\Large {a_n}^2=2a_{n-1}$
となります。
よって、以下の関係式が成り立ちます。
　　 $\Large {a_n}^2-2a_{n-1}=0$
以上より、極限値の存在を仮定し*1、それを仮に $a$ とした場合には
　　 $\Large a^2-2a=0$
　　∴ $\Large a=0 or 2$
が成り立ちます。
もし、 $a=0$ の場合は上記の $a_1=\sqrt{2}$ と矛盾するため、 $a=2$ となります。