ルートの無限入れ子クイズの解答第二版 - しがないプログラマの日記

問題
数列 [tex:] が、
　　 $\Large a_1=\sqrt{2}, a_2=\sqrt{2 \sqrt{2}}, a_3=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, a_4=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}$
で与えられているとき、極限 $\Large \lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

解答
　　 $\Large a_2=\sqrt{2a_1}, a_3=\sqrt{2a_2}, a_4=\sqrt{2a_3}$
より、一般項が
　　 $\Large a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$
となります。

よって、 $a_1<2$ より、任意の $n$ において[tex:0=2] となるならば
　　 $\Large a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$
なので、 $a_{n-1}>=2$ となる。よって、任意の [tex:m (m=2]となり、題意に矛盾する。

次に、任意の $n$ において [tex:0 $a_{n-1}<a_n$ 0 (0] は上に有界*1かつ単調増加関数*2なので、
　　 $\Large \lim_{n\to\infty} a_n$
は収束する。

さて、極限値を仮に $a$ とした場合には
　　 $\Large a^2-2a=0$
　　∴ $\Large a=0 or 2$
が成り立つ。
もし、 $a=0$ の場合は上記の $a_1=\sqrt{2}$ と矛盾するため、 $a=2$ となります。
よって、極限値は $2$ となる。

証明終わり。

追記

久しぶりに数列の収束を考えました。大学時代を思い出しました＾＾；
とても久しぶりなので、証明に問題があるかもしれません。問題があった場合にはお気軽にご指摘下さい。

追記2

コメントで指摘を頂いたので、証明を追加しました。これでどうでしょうかね？

*1:任意の $n$ で $a_n<2$

*2:任意の $n$ で[tex:a_{n-1}